數學確定性的失落與物理實像本身的不可知(上)
舊文搬家，原文: https://popscience20.blogspot.tw/2013/08/blog-post.html
我最近看了一本書，書名叫做《數學：確定性的失落》。這本書主要的內容是在講整個數學發展的歷史，從最早的希臘幾何學，到現代數學出現各式各樣的分支：非歐幾何、分析學、集合論……。
還記得日前與朋友聊天時，談論到數學是否為真理的問題。他似乎認為數學是一套顛撲不破的真理體系，只要按照一定的公設與邏輯法則所推論出來的定理，就是真理，在任何可能的世界裡皆為真，連上帝都無法將之推翻。但是，這本書的作者正要告訴我們，就連數學當中也沒有所謂的真理，數學只是人造的概念罷了。
這本書與宗教無關，作者莫里斯．克萊恩（Morris Kline，1908–1992）本身是職業數學家，在博客來網路書店的網頁上是這麼介紹他：「美國著名的應用數學家、數學教育家、數學史家和數學哲學家。」我之所以推薦這本書只有一個原因：「希望讓更多人了解理性本身的限制。」
現在請大家思考以下問題：
給定一組公設，還有所需要的邏輯規則，組成一個算數系統。問題一：我們能不能確定這個系統的一致性？問題二：我們能不能確定這個系統的完備性？
問題一的意思就是，我們有沒有可能證明，在一個定義完整的算數系統中，不存在有任何矛盾？問題二的意思就是，在這個定義完整的系統中所提出的任何意義完整的命題，是否都可予以證明或否證？
在二十世紀初，許多的大數學家對這兩個問題的答案都是肯定的。他們認為，只要把數學完全的形式化、邏輯化、公設化，就可以去除數學系統中潛在的矛盾，並且給予其中任何命題一個明確的證明，非真即假，沒有我們無法知道的部分。
但是哥德爾(Gödel)卻給了以上問題一個否定的答案，透過他所證明的不完備性定理：如果一個包含整數理論的數學系統T是一致的，那T就不是完備的。這表示，數論裡有一個有意義的敘述S，不管是S或非S，都不可能在數論裡給證明出來。但是S或非S總有一個為真，所以在數論裡存在一個不能證明的真命題，也因此這個命題是不可判定的。
所謂的不可判定命題可以這樣來理解：
首先考慮敘述「這個敘述為假」，就會得到矛盾，因為如果此敘述為真，按照其斷言，此敘述為假；反之，如果此敘述為假，那它就是真的。但是哥德爾把「假」用「不可證明」來取代，整個敘述變成「這個敘述是不可證明的」。因此，如果此敘述是不可證的，那它就是真的；反之，如果此敘述可證，那它就是假的，依照標準邏輯的反證法，則若它為真，此敘述不可證。所以，這個敘述為真，若且唯若，這個敘述不可證。我們就說這個真的敘述是不可判定的。
之後哥德爾又證明出「算術系統是一致的」這個敘述是不可判定的。也就是說，只要我們使用的方法或邏輯原理，可以被「翻譯」到算術系統裡，就不可能證明一致性。
哥德爾的結論所代表的意義是：由於我們無法得知算術系統的一致性，因此系統中可能隱含無數組矛盾的結論，只是我們還沒發現罷了。就算假設算數系統是一致的，系統中亦存在不可判定的命題，因此我們所能證明為真的部分，也遠遠小於系統中的所有真理。
因此，數學作為真理的信念是整個崩盤了。我們再也不能說，今天我證明出一組數學定理，這個定理不管是在另外一個世界，或在上帝面前，都無法被推翻。因為一旦發現算數系統中潛在的不一致，這個定理可能就立刻被推翻，而且我們沒有任何辦法事先知道或避免這樣的結果。
此外書中還提到另外一個定理：洛溫罕－斯寇楞定理。這個定理告訴我們，除了我們心目中的數學領域外，一組公設還允許許多本質上極為不同的解釋。
這些數學上的結果如何關連到我們對物理世界的解釋呢？以下是我的想法：
目前的物理學包含兩個領域：一是理論，一是實驗。理論物理的目標是希望建構一個數學模型，透過這組模型，我們可以在一套算術邏輯下得到許多與實驗數據吻合的結論，甚至是預測實驗結果；而實驗物理的目標是希望透過多組受控制、可重複驗證的實驗，從中找到某些規則，並且盡可能用數學將這些規則表示出來，再從其數學結構推論出可能的物理機制。
不論是理論或實驗，若要定量敘述，基本上都會牽涉到數學中的一組公設與一套算術邏輯。接下來思考以下情況：
我們手邊有一套在某個物理領域中幾乎是99.9999%(或以上)與實驗數據吻合的數學模型(例如量子力學)，那麼我們可以據此認定物理世界的”實像”就等同於我們所建構出的數學模型嗎？從數學的觀點來看，是不行的。
其一，我們無法確認這個數學模型的一致性，但我們相信物理實像是一致的，這樣縱使理論與已知的實驗數據吻合，仍然可能有無數個理論失效之處是我們無法察覺的，因此數學模型不可能等同於物理實像；其二，一組數學模型可能允許其它相當不同的解釋，但是我們相信物理實像只有唯一的樣貌，並不會隨著人的解釋而改變，顯然任何理論都不足以唯一而完整的描述物理實像；其三，數學模型當中存在不可判定的敘述，但在物理的量測上，所有可被人類觀察到的數據都只能是可知的，至於那些無法被人類透過實驗加以重複、藉由感官取得資訊的內在結構，則屬於不可知的部分。因此數學模型僅能保證物理上可知部分在數據上的一致，但物理上不可知部分能不能與理論產生對應，則仍然屬於不可判定的問題。
假如一個粒子有0或1兩種態，分別把這兩種態代表邏輯上的真或假，實驗只能量測到它是0或1，不可能量測到0與1的疊加態。0和1的疊加，在古典物理的數學模型中來說或許代表不可判定的敘述，但是在量子力學的數學模型中卻直接把這樣的性質當作公設，並且推導出相當符合實驗數據的結論。這只能表示，我們可以透過增加或修改數學模型中的公設，來消除某些已知的理論矛盾，但這樣的後果是，新的數學模型又包含了我們所無法驗證的部分，而我們只能承認模型可供驗證的部分將與實驗吻合，但對於不可觀測的部分與物理實像間的關聯，則是我們永遠無法得知的。
換句話說，就算我們找到一個可以統一所有實驗數據的數學模型，我們對真正的物理實像仍然一無所知，只能知道實驗結果這樣跑，理論預測也這樣跑，並且繼續尋找下一個會讓理論失效的實驗結果。
物理發展的趨勢似乎是這樣：為了要統一原先看起來是互相獨立的現象，人們不斷引入許多抽象概念，並用數學描述之。一個簡單的例子是，為了統合電與磁，而設想出”場”的概念。”場”本身只能用數學函數來表示，除此之外，並沒有任何具體的對應能夠描述”場”的行為，量子力學中機率波的概念也是類似。
沒錯，這些概念可以幫助我們準確地得到許多重要的物理結果，有一種可能是，物理的實像的確就像數學所描述的一般；但我覺得更有可能的是，這些概念和模型，只是為了湊出過去的實驗結果而已。
當然你會說：「一個正確的理論甚至可以預測出尚未發現的物理現象呀！」那我舉相對論為例：愛因斯坦是如何發展出相對論呢？一是光速實驗的結果顯示出古典物理的失效，二是古典物理與電磁學理論間的不一致。愛因斯坦選擇維護電磁學理論的一致性，而放棄了古典物理中的某些公設，於是得到了相對論。
乍看之下，相對論好像憑空出現，而且準確預測了許多結果，如果相對論不是物理實像，怎麼可能那麼剛好呢？但是仔細想想，相對論只是為了解決古典物理與電磁學之間的不一致所構造出來的數學模型。如果物理實像的本質具有一致性，而相對論解決了古典物理中某些一致性的問題，自然而然能夠得到古典物理所無法得到的結論。
相對論的成功，僅僅顯示出物理實像對一致性的偏好，無法據此論證相對論所描繪的即是物理實像。於是結果就如前所述，物理實像本身的一致性，是任何數學模型都無法宣稱的。或許我們可以確保理論中可供驗證部分的一致性是與實驗結果相吻合，但是我們永遠無法確認理論中不可驗證的部分其一致性是否能代表物理實像，這樣雖然我們可以得到相當準確的理論預測實驗結果，但是對於真正的物理實像則永遠無法知道。
另外像是弦論，企圖引入好幾維時空來統合所有物理現象，也只能說是在湊成理論與實驗的一致性。如果有一天湊成了，並順利預測出某些重要結果，也僅能說，在可供驗證的部分，理論與實驗的一致程度相當高，但是我們可能得先相信一個相當龐大且違反直覺的數學架構，而且架構本身無從驗證。(這與托勒密的天文學不同，因為該架構是可以被望遠鏡所檢驗的，而弦論本身的微小結構是建立在根本無法驗證的尺度，這樣就算能夠在其中造出許多玄妙的結構以符合實驗結果，也不足為奇。此外，還有算術系統本身的限制，這是任何理論都無法克服的障礙。)
總的來說，現在的我對於物理的概念是：數學是一個幫助我們理解物理現象很好用的工具，沒有數學，物理就不可能發展，但數學並不是一個認識物理實像的好工具。事實上，根本不存在有任何理性的方法能夠認識物理實像，這就是理性本身的限制。關於物理實像，我們什麼都不知道，企圖透過理論來斷言人類經驗以外的事物，是很不明智的舉動。
舉例來說：相信愛因斯坦場方程式的解能造出時光機；相信量子力學能使人瞬間移動；相信幾百億年前宇宙發生了什麼事。理論當然可以很完整的描繪出一幅圖像，透過這幅圖像，可以很精確描述人類經驗範圍之內的現象，但是再往外延伸至人類尚未參與的過去或未來，這樣的預測就相當可疑，當然這部分的理論預測與物理實像間是否存在對應關係，也就成了不可判定的問題了。
經過深思熟慮之後，我確認物質科學有最基本的三大前提是無法證明、只能相信的：
1. 物理實像的一致性 2. 物理實像的獨一性 3. 物理實像本身的不可知
- 我相信物理實像應該是”一致的”，亦即物理實像本身沒有任何潛在的矛盾或衝突。
- 我相信物理實像是”獨一的”，不會因為每個人不同的詮釋就改變物理實像本身。
- 我相信物理實像本身是”不可知的”，因此我們設計、重複各樣實驗，透過演繹及歸納將感官所獲得之資訊整合成人類可理解的形式。
現象是可知的，但本質是不可知的，企圖透過現象去解釋本質則是沒有意義的。因此如量子力學或相對論之類的理論，雖可準確解釋實驗數據，但不代表物理實像的本質與這些理論所描繪的圖像之間有任何關聯。